폰트랴긴 특성류

위상수학 22에서 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터 다발특성류의 하나다.[1][2] 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

정의

E {\displaystyle E} 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위의 n {\displaystyle n} 차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} SO ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} -주다발틀다발 P M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 연관 벡터 다발이라고 하자.

구체적 정의

P {\displaystyle P} 주곡률 F {\displaystyle F} 를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 s o ( dim E ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(\dim E)} 의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

det ( I + t F / 2 π ) = k = 0 t 2 k p k ( E ) {\displaystyle \det(I+tF/2\pi )=\sum _{k=0}^{\infty }t^{2k}p_{k}(E)} .

우변에서 k {\displaystyle k} 가 홀수인 항들은 F {\displaystyle F} 의 반대칭성에 의하여 사라진다. p k {\displaystyle p_{k}} 미분 형식으로 간주하면 E {\displaystyle E} 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 p k H 4 k ( M , Q ) {\displaystyle p_{k}\in H^{4k}(M,\mathbb {Q} )} 는 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 위상수학적 불변량이다. 이를 k {\displaystyle k} 폰트랴긴 특성류라고 한다.

총 폰트랴긴 특성류(total Pontryagin class) p {\displaystyle p} 는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉

p = k = 0 p k ( E ) = det ( I + F / 2 π ) H ( M , Q ) {\displaystyle p=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(E)=\det(I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,\mathbb {Q} )}

이다.

추상적 정의

O ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} -주다발 P {\displaystyle P} 분류 공간 BO ( n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)} 으로 가는 연속 함수

f : M BO ( n ) {\displaystyle f\colon M\to \operatorname {BO} (n)}

호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군유니터리 군의 부분군이다.

ι : O ( n ) U ( n ) {\displaystyle \iota \colon \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n)}

따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.

B ι : BO ( n ) BU ( n ) {\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)}

(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.) BU ( n ) {\displaystyle \operatorname {BU} (n)} 위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류

c k H 2 k ( BU ( n ) ) {\displaystyle c_{k}\in \operatorname {H} ^{2k}(\operatorname {BU} (n))}

가 존재한다. 이를 당김으로서 BO ( n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)} 위에 정의할 수 있는데, 이 경우

( B ι ) c 2 k + 1 = 0 H 4 k + 2 ( BO ( n ) ) {\displaystyle (\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k+1}=0\in \operatorname {H} ^{4k+2}(\operatorname {BO} (n))}

이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류라고 한다.

p k = ( ) k ( B ι ) c 2 k H 4 k ( BO ( n ) ) {\displaystyle p_{k}=(-)^{k}(\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}

이 경우, E {\displaystyle E} 의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김

p k ( E ) = f p k H 4 k ( M ) {\displaystyle p_{k}(E)=f^{*}p_{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}

이다.

성질

서로 위상 동형다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다.[3] 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

천 특성류와의 관계

폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

직교군유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.

O ( n ) ι U ( n ) ι O ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)\,{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {U} (n)\,{\overset {\iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {O} (2n)}

이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)

BO ( n ) B ι BU ( n ) B ι BO ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {BO} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BU} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BO} (2n)}

를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.

p k = ( ) ( B ι ) c k H 4 k ( BO ( n ) ) {\displaystyle \operatorname {p} _{k}=(-)(\mathrm {B} \iota )^{*}\operatorname {c} _{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}
( ) k ( B ι ) p k = i + j = 2 k ( ) i c i c j H 4 k ( BU ( n ) ) {\displaystyle (-)^{k}(\mathrm {B} \iota ')^{*}\operatorname {p} _{k}=\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}\operatorname {c} _{j}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BU} (n))}

이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.

  • 사상 B ι : BO ( n ) BU ( n ) {\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)} 는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
  • 사상 B ι : BU ( n ) BO ( 2 n ) {\displaystyle \mathrm {B} \iota '\colon \operatorname {BU} (n)\to \operatorname {BO} (2n)} 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.

즉, 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 E C {\displaystyle E\otimes \mathbb {C} } 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

p k ( E ) = ( ) k c 2 k ( E C ) H 4 k ( M ) {\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\operatorname {c} _{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}

천 특성류 c k {\displaystyle c_{k}} 2 k {\displaystyle 2k} 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 p k {\displaystyle p_{k}} 4 k {\displaystyle 4k} 코호몰로지 원소이다. ( E C {\displaystyle E\otimes \mathbb {C} } 의 홀수차 천 특성류슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.

p k ( E ) = ( ) k i + j = 2 k ( ) i c i ( E ) c j ( E ) H 4 k ( M ) {\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}(E)\operatorname {c} _{j}(E)\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}

분수 폰트랴긴 특성류

M {\displaystyle M} 위의 n {\displaystyle n} 차원 유향 실수 벡터 다발 E {\displaystyle E} 스핀 구조는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.

BSpin ( n ) B q B q M BSO ( n ) {\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BSpin} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}

여기서 B q {\displaystyle \mathrm {B} q} 는 몫사상

q : Spin ( n ) SO ( n ) {\displaystyle q\colon \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}

에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상

B q : BSpin ( n ) BSO ( n ) {\displaystyle \mathrm {B} q\colon \operatorname {BSpin} (n)\to \operatorname {BSO} (n)}

이다.

이 경우, 스핀 군단일 연결 단순 리 군이므로

π i ( Spin ( n ) ) = 0 ( i < 3 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))=0\qquad (i<3)}
π 3 ( Spin ( n ) ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }

이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간호모토피 군

π i ( BSpin ( n ) ) = 0 ( i < 4 ) {\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {BSpin} (n))=0\qquad (i<4)}
π 4 ( Spin ( n ) ) = Z {\displaystyle \pi _{4}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }

이므로, 후레비치 준동형동형이며,

H 4 ( BSpin ( n ) ) = Z {\displaystyle \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))=\mathbb {Z} }

이다. 따라서, 그 생성원을 α {\displaystyle \alpha } 라고 하자. 그렇다면,

( B q ) p 1 = 2 α H 4 ( BSpin ( n ) ) {\displaystyle (\mathrm {B} q)^{*}\operatorname {p} _{1}=2\alpha \in \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))}

임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,

p 1 ( E ) = 2 ( 1 2 p 1 ( E ) ) 2 H 4 ( M ) {\displaystyle \operatorname {p} _{1}(E)=2\cdot ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E))\in 2\operatorname {H} ^{4}(M)}

가 되는 특성류

1 2 p 1 ( E ) H 4 ( M ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E)\in \operatorname {H} ^{4}(M)}

를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류(一次分數Понтрягин特性類, 영어: first fractional Pontryagin class)라고 한다.[4]:§4.4.1

마찬가지로, 만약 E {\displaystyle E} 끈 구조(영어: string structure)를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림

BString ( n ) B q B q M BSO ( n ) {\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BString} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}

이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류(二次分數Понтрягин特性類, 영어: second fractional Pontryagin class)

1 6 p 2 ( E ) H 8 ( E ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\operatorname {p} _{2}(E)\in \operatorname {H} ^{8}(E)}

가 존재한다.[4]:§4.4.2 여기서 String ( n ) {\displaystyle \operatorname {String} (n)} 끈 군이다.

낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

p 0 = 1 {\displaystyle \operatorname {p} _{0}=1}
p 1 = 1 2 ( 2 π ) 2 tr F 2 {\displaystyle \operatorname {p} _{1}=-{\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\operatorname {tr} F^{2}}
p 2 = 1 8 ( 2 π ) 4 ( ( tr F 2 ) 2 2 tr F 4 ) {\displaystyle \operatorname {p} _{2}={\frac {1}{8(2\pi )^{4}}}\left((\operatorname {tr} F^{2})^{2}-2\operatorname {tr} F^{4}\right)}

역사

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다.[5] 세르게이 페트로비치 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.[3]

참고 문헌

  1. Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 978-069108122-9. 
  2. Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector bundles and K-Theory》 2.1판.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
  3. Новиков, С. П. (1966). “О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы)”. 《Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая》 (러시아어) 30 (1): 207–246. MR 196765. Zbl 0199.58202. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
  4. “Fivebrane structures” (영어). arXiv:0805.0564. 
  5. Понтрягин, Лев С. (1947). “Характеристические циклы дифференцируемых многообразий”. 《Математический сборник》 (러시아어) 21 (2): 233–284. MR 22667. Zbl 0037.10305. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]

외부 링크

  • “Pontryagin class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Pontryagin class”. 《nLab》 (영어).